| Ⅰ．中学校の復習 １．中学校で学んだ基本的な幾何学的事実。 ａ．測量や縮図などで，どんな原理が用いられているかということや，三角形の合同・相似の条件を考えることの有用性を復習して，三つの条件をまとめること。 ｂ．工作や地図を用いるときなどに，平行線がどのように用いられているかを復習して，平行線の概念や，二つの平行線がどこでも距離が等しく，また方向も等しいという性質をまとめること。 ２．中学校で学んだ代数的な技能 ａ．長方形・三角形・平行四辺形などの面積や，直方体・立方体などの体積の公式をつくっていくときの考え方や，そのときに文字を用いることの有用なことを復習すること。 ｂ．ａ(ｂ＋ｃ)，(ａ＋ｂ)2，(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)などの展開式のように，よく用いられる基本的な恒等式について，図を用いたりなどして復習すること，およびこれを用いること。 ｃ．ａにあげた公式などについて，方程式を用いることを復習し，方程式を変形していく基本的な原理をまとめること。 Ⅱ．幾何に用いられる方法を理解すること １．図形についての性質の明確な表わし方 ａ．中学校における幾何学的な事項についての研究や，科学や日常生活における研究について，経験や実験から法則を帰納する過程を示すこと。 ｂ．中学校における幾何学的な事項についての研究や，科学や日常生活における研究について，正しいと認められた基本的な事実をもとにして，ある結論を導く演繹的な過程の例を示すこと。 ｃ．帰納的な方法と，演繹的な方法とを比較して，この二つの方法の特徴を明らかにすること。 ｄ．日常生活における討論などにおいて，明確な定義や，前提をはっきり述べることの必要なことの例を示すこと。 ｅ．これまでに学習した幾何学的事項について，用語を明確に定義したり，これからの研究において前提とすべき事項を選んだりして，まとめをすること。 ｆ．上の事実を，条件と結論とに分析して，はっきりした形に表わすこと。 ２．幾何で用いられる方法 ａ．平行四辺形・長方形・正方形などの簡単な性質を研究するのに，演繹的な考え方がいかように用いられるかを明らかにすること。 ｂ．平行線・角の二等分線・線分の垂直二等分線などの基本的な図形の作図法を復習し，作図によって得られた図形を確かめるのに，演繹的な方法が有用であることを明らかにし，作図に関する問題を解くこと。 ｃ．平行線・角の二等分線・線分の垂直二等分線などの基本的な図形を，ある条件を満足する点が動いてできた図形として特徴づけ，これを具体的な問題に応用すること。 ｄ．実際の三角形について計算してみたり，いろいろな方法でためしてみたりして，三角形の内角の和が180゜であることを見いだし，これを演繹的な方法で確かめること。 ｅ．多角形を三角形に分解したり，またはほかの方法を用いたりして，上の定理を多角形の場合に拡張すること。 Ⅲ．空間における図形の関係を理解し，用いること １．空間における点・直線・平面の概念と，その相互関係 ａ．工作や機械製作などの実際の場面で，平面をつくりだすのに用いられている方法を研究すること。 ｂ．上の方法のもとになっている事がらを，点・直線の相互関係によってまとめて考え，これを身のまわりにある具体物で示すこと。 ｃ．上でまとめた基本的な事実を，公理としてまとめること。 ｄ．教室・机・模型などの具体物の中に見られる，一つの平面に平行な平面や直線，または一つの直線や，平面にそれぞれ垂直な平面または直線を見いだすこと。 ｅ．平面上における平行や垂直の関係をもとにして，空間における平行や垂直の関係を数量的に明確に定義すること。 ｆ．同じ直線または平面に，平行または垂直な二つの平面，二つの直線，平面と直線の相互関係を明らかにして，平面上の場合と比較しつつ，これらの基本的な性質をまとめること。 ｇ．これまでに学習した基本的事実を公理としてまとめること。 ｈ．三垂線の関係を見いだし，証明すること。 注 ａからｇまでの事がらについては，生徒が実際の経験から考えたり，模型をつくったり，具体物を観察したりして，これらのことを見いだし，また，その例を示したり，ときには，反例をあげたり，模型をつくったりして，確かめていくことでじゅうぶんであって，生徒が少ない公理からこれを完全に証明していくことを考えているのではない。この１は，空間についての公理をつくるのがねらいである。 ２．投影図 ａ．中学校で学習した投影図による立体の表わし方の基本的な規約と，その実際生活における有用性とを復習すること。 ｂ．各投影面上の三つの点が，空間におけるひとつの点を表わすための三つの点の相互関係についての条件を見いだすこと。 ｃ．投影面に対していろいろな位置にある直線や線分の投影図をかくこと。およびその各位置の特徴を明らかにすること。 ｄ．投影図で表わされた線分の実長を求めること ３．簡単な立体の性質 ａ．平面における三角形・長方形・正方形などから類推して，空間におけるこれらに対応するような立体を見いだし，定義すること。 ｂ．平面における正方形・長方形・平行四辺形などの平面図形の性質から類推して，立方体・直方体・平行六面体などの立体の簡単な性質を見いだすこと。 ４．証明の本質 ａ．幾何における公理や定理の役割をまとめること。 ｂ．もしも，ある前提を認めるならば，それから演繹的に導かれる結論を認めなければならないことや，同じ前提に基いて，それから導かれた結論が異なるときは，両者の間に明示されない前提があって，これが異なっているのか，あるいは推論の過程に誤りがあるのかどちらかであることを明らかにすること。 ｃ．幾何や日常生活において，演繹的な推論が有用であることを明らかにすること。 ｄ．幾何や日常生活における必要条件と十分条件との例をあげ，これを比較することおよびその意味や命題の逆関係をまとめること。 Ⅳ．直線図形の性質を用いること １．平行線に関係した三角形の性質 ａ．一つの三角形の一辺に平行な直線が，他の二辺をきったときにできる線分の間の比例関係を見いだし，証明すること。 ｂ．比例式を解いたり変形したりすること。これをａに適用して，二・三の定理を導くこと。およびこれらを実際問題に応用すること。 ｃ．上の定理を空間の定理に拡張すること。およびこれを応用すること。 ｄ．一般の図形についての相似の概念を明らかにし，相似の位置の考えを発展させること。およびこれを地図や写真の拡大などの実際問題に応用すること。 ２．直角三角形の性質 ａ．測量などにおける三角比の使い方やその有用性を復習し，これを鈍角の三角函数にまで拡張すること。 ｂ．二角と一辺が与えられたときの三角形を解くこと。および正弦法則を証明し，これを応用すること。 ｃ．三平方の定理の証明をくふうすること。およびこれに関係した直角三角形の他の性質を明らかにし，これを具体的な問題に応用すること。(必ずしも平面に限らない。) ｄ．二辺とそのなす角とが与えられたときの三角形を解くこと。および余弦法則を証明し，これを応用すること。 Ⅴ．円と球の性質を用いること １．円・球の対称性 ａ．円がその任意の直径に関して対称であることや，その中心のまわりに一回転しても変らないことを明らかにし，まとめることおよび円の弦・弧・直径の間の関係を見いだし，これを実際問題に応用すること。 ｂ．上のような性質を球の場合に拡張し，具体物について，その関係を示すこと。 ｃ．具体的な場面において，円の接線や球の接平面を見いだすこと。および円の接線・球の接平面を定義し，接線または接平面と接点をとおる半径との関係を明らかにすること。 ｄ．一直線と円，または二円の位置関係や，球についての同様な位置関係を分類し，それらの二つが接するための条件を求めること。 ｅ．円の中心角と弧との比例関係を復習し，用いること。 ｆ．道路・鉄道・機械などに円の弧が用いられていることや，その半径が曲り方の程度を表わしていることを明らかにし，具体的な問題についてこれを応用して，いろいろな長さを計算すること。 ｇ．三角形に関係した円を描くこと。 ２．円や球の他の基本的な性質 ａ．円周上の一点から，その円の与えられた弧をみこむ角の大きさは，その点がその弧の共軛弧上を動いても変らないことを証明し，これを応用すること。 ｂ．接線を割線の極限の位置と考えて，上の定理から接線の性質を導くこと。 ｃ．円周上にない一定点をとおる直線と円によってできる二つの線分の積は，その直線がその定点のまわりを動いても，一定であることを証明すること。 ｄ．上の定理を球の場合に拡張すること。 ｅ．これらの定理を応用して，円や球の弦・半径・接線などの長さに関する実際問題を解くこと。 ３．極限の概念 ａ．面積や体積の大きさの意味を復習し，極限の考えがそこに用いられていることを明らかにすること。 ｂ．内接正多角形や外接正多角形の極限として円周を考えて，円周や円の面積についての公式を導くこと。 ｃ．区分求積の考えを用いて，球・円すい・角すいなどの体積の公式を導くこと。 Ⅵ．軌跡の概念を発展させること １．軌跡の概念 ａ．これまでに学習した軌跡の概念の背景となる事実をまとめ，ある種の運動によってつくられる図形として軌跡を定義し，この考えで，これまでの定理を見直してまとめること。 ｂ．上の基本的な軌跡に容易に帰着させることができる軌跡の問題を解くこと。 ｃ．ある与えられた条件を満足する点の運動によってつくられる美しい曲線を描き，その名まえを知ること。 ２．座標と方程式 ａ．中学校で学んだ式のグラフの考えを復習し，軌跡の考えでこれを解釈すること。 ｂ．直線の方程式の一般形を用いること。 ｃ．一定点をとおるとか，ある直線に平行であるとかなど，特殊な位置にある直線の方程式についての条件を用いること。 ｄ．二点間の距離を座標で表わして計算すること。および円の方程式をつくること。 ｅ．方程式を用いたり，幾何学的な方法を用いたりして，円や直線に帰着できる軌跡の問題を解くこと。 ３．二次曲線の方程式とその性質 ａ．放物線の定義から，その方程式を導くこと。およびこれを用いること。 ｂ．平行移動を座標によって表わすこと。および二次式のグラフや一般の位置にある円などについて，それを用いて研究すること。 ｃ．座標軸の位置を適切に選んで問題を解くこと。 ｄ．楕円や双曲線の標準形の方程式を知ること。 ｅ．二次曲線の簡単な性質を見いだし，これを証明すること。 |
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